哥廷根曾是寰宇数学的中心ai 人妖，被誉为数学圣地。本文将主要先容哥廷根数学派系的历史，包括柏林大学数学的兴起对学术研究的意旨，珍视于黎曼牺牲之后和之前多位伟大数学家的孝敬与影响。哥廷根数学发展受多种成分影响，历经蜕变，其发展历程展示了数学发展与大学、东说念主才、计谋等方面的清雅推敲。

撰文 | 王涛

哥廷根数学派系的兴起号称是数学史上最为端淑的篇章之一，在20世纪的前30年里，哥廷根这座不起眼的小城皆备是寰宇数学的中心，被誉为数学圣地，稀有学的“麦加”之称。伟大的数学传统、浓厚的学术氛围使每一个数学东说念主千里醉，而哥廷根数学的东说念主和事更是一说念靓丽的表象线。

哥廷根数学的伟大传统，为高斯（C.F. Gauss，1777-1855）独创。其继任者都是德国最有声望的数学家，如狄利克雷（P.G.L. Dirichlet，1805-1859）和黎曼（G.F.B. Riemann，1826-1866）。固然他们推动了高斯的业绩，但和高斯不异，他们都未能给哥廷根带来黄金岁月。不仅如斯，1866年，跟着19世纪最富独创性的数学家黎曼的牺牲，哥廷根大学的数学干预了一段相对比较难题的时期。而与此同期，德国险些总计的大学——莱比锡、哥尼斯堡、埃尔朗根、波恩——都有知名的数学教化。在克莱因（F. Klein，1849-1925）1886年到达哥廷根大学之前，哥廷根大学并不具有上风，数学教化席位一度空白以至找不到顺应的替代者，这与那时柏林大学数学东说念主才济济、兴旺进展的形状变成了显著的对比。

哥廷根数学传统的缔造者、被誉为数学王子的高斯（1777-1855）

高斯的继任者——狄利克雷（1805-1859），他曾先后在柏林大学和哥廷根大学任教化

狄利克雷的继任者、高斯的讲理弟子黎曼（1826-1866），曾跟从狄利克雷在柏林学习过一段时刻

柏林大学数学的兴起

19世纪中世的德融会远不是一个长入的国度，而是分为万里长征的邦国。哥廷根位于汉诺威王国内，柏林位于普鲁士王国内。其中普鲁士柏林大学的兴起皆备值得一提。

1806年第四次反法同盟失败，作为同友邦之一的普鲁士险些杜渐防萌，不久，柏林也沦一火。拿破仑狂躁地对待了普鲁士，这使得普鲁士发誓要报仇。施泰因、哈登堡、洪堡从政事、经济、军事和培植各个方靠近普鲁士进行了翻新，其中培植翻新是重中之重。1809年，降生于波茨坦贵族家庭的威廉•冯•洪堡（Wilhelm von Humboldt，1767-1835）出任普鲁士培植文化部部长，掌管普鲁士总计的培植文化事务，在顷刻的任期内，洪堡翻新了普鲁士引以为傲的培植轨制。洪堡建立了新的培植轨制，设初等培植、中等培植和高级培植三个头绪；选拔新的教化法，轨则只消受过检会的及格教师才能任教。不少德国顶级数学家都曾在中学任教，包括晚年被视为德融会民族好汉的魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass，1815-1897），那时许多后果都需要他拍板才能获取招供，比如1882年林德曼（C.L.F. Lindemann，1852-1939）讲解π的杰出性。

亚历山大•冯•洪堡（1769-1859）

洪堡的培植翻新得到了普鲁士国王威廉三世的支抓，威廉三世不仅接受了洪堡的残酷，以至不吝将豪华的王宫——海因利希宫孝敬出来作校舍，筹建一所重心大学。就这么，一是以国王的名字——弗里德里希•威廉定名的大学确立了，这等于当今闻明的柏林大学。国王威廉三世以至用我方的家底每年为柏林大学拨款15万塔勒。那时他给教化们说说念：“这个国度必须用它精神上的力量来弥补它物资上的赔本，……，培植不仅不会使国度费劲，违抗培植是开脱费劲的最佳妙技！”

由于洪堡高大的孝敬，柏林大学也被称为“洪堡大学”。

在柏林大学的创办和发展经过中，亚历山大•冯•洪堡(Alexander von Humboldt，1769-1859)阐述了迫切的作用。亚历山大•冯•洪堡是威廉•冯•洪堡的弟弟，闻明的天然科学家和探险家。他是寰宇上第一个大学地舆系——柏林大学地舆系的首任系主任。亚历山大•冯•洪堡相配心爱数学，对德国数学界的影响很大。比如，1826年他曾给年青的狄利克雷写过推选信，推选他到柏林大学任职；匡助雅克比（C.G.J. Jacobi，1804-1851）争取过津贴，还与克罗内克（L. Kronecker，1823-1891）慎重；此外，他还匡助过高斯、史坦纳（Steinner，1796-1863）和库默尔（E.E. Kummer，1810-1893）任教化等职位。为了挂牵这位伟大的科学家，柏林大学于1860年开垦了闻明的洪堡基金。得到资助的学者一般被称为洪堡学者，我国有不少学者都曾得到过洪堡基金的资助。

这所比哥廷根大学创办晚75年的柏林大学赋予了大学以新的含义——学术研究。大学的意旨不仅在于教化，还在于科学研究，探求真谛，这等于柏林大学的理念，这一理念代表着新式大学的发展场地。与纯正由普鲁士东说念主建立的新式研究型大学比拟，由英国东说念主建立的哥廷根大学似乎更注重闻东说念主培植，这点在高斯身上体现得大书特书。但不论怎么说，19世纪30年代柏林大学看重有了数学系，狄利克雷被聘为柏林大学的教化。

哥廷根数学的阵痛

柏林大学的兴起是普鲁士总计这个词国度兴旺进展的一个缩影。普鲁士冉冉地遒劲起来并试图完成期间赋予它的服务——抑遏德国分裂的形状。从哥廷根大学毕业的普鲁士首相俾斯麦开动了德融会铁与血的长入。1866年，也等于黎曼牺牲的那一年，普奥构兵爆发并以《布拉格和约》而告终，战时协助奥地利的汉诺威被普鲁士吞并，哥廷根大学的地位一落千丈。而与之违抗，柏林则从普鲁士这个邦国的都门一跃成为北德融会联邦的都门，5年之后，柏林又成为总计这个词德融会联邦的都门，柏林大学的地位得到了极大的擢升。有一件事能反应出柏林关于哥廷根的数学上风，黎曼牺牲后哥廷根曾试图聘用柏林大学的克罗内克，但克罗内克讳言绝交了，原因是柏林的学习、服务、活命环境使克罗内克感到称心。其实不仅如斯，柏林大学的数学在魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克的招引下还是发展到一个相配的头绪，在函数论、数论、几何基础场地都有很强的实力，况兼变成了一个派系，这等于数学史上闻明的柏林派系。

但阵痛事后哥廷根终于迎来了我方的后光，这一后光缔造出一个新的派系——哥廷根派系。到19世纪末期，跟着柏林三巨头的牺牲，柏林大学的上风冉冉丧失，到20世纪初，时局还是完全逆转过来了。1902年，跟着富克斯（I.L. Fuchs，1833-1902）的牺牲，柏林大学试图聘用哥廷根的希尔伯特（D. Hilbert，1862-1943）来继任这个位置，希尔伯特不仅拒却了这一任命，违抗他还残酷克莱因要求德融会培植文化部部长阿尔说念夫（F. Althoff，1839-1908）在哥廷根增设一个数学教化席位，况兼聘用他的好友闵科夫斯基（H. Minkowski，1864-1909）来担任这个位置，这一残酷也被阿尔说念夫领受。克莱因与阿尔说念夫相识于普法构兵（1870-1871年），他们互相相配尊重对方。由于这层关系的存在，阿尔说念夫相配支抓哥廷根数学的发展，这么到了1902年，哥廷根在数学教化的数目上也赶上和高出了柏林大学，由此哥廷根数学开动了真的意旨上的黄金期间。

柏林三巨头。从左至右：魏尔斯特拉斯（1815-1897）是柏林派系的魁首，在德国享有高大的权威；克罗内克的淳厚库默尔（1810-1893）；直观想法的前驱——克罗内克（1823-1891）

哥廷根后光的缔造者——希尔伯特（1862-1943）

在无数形容哥廷根数学的尊府中，过多的翰墨留在了高斯、狄利克雷、黎曼、克莱因和希尔伯特哪里。但是黎曼1866年牺牲之后的继任者是谁？在克莱因1886年到哥廷根任教化之前，哥廷根的数学又是如何发展的呢？

哥廷根后光的缔造者——克莱因（1849-1925）

黎曼的继任者——克莱布什

克莱布什（A. Clebsch，1833-1872）生于东普鲁士的哥尼斯堡，1850年入哥尼斯堡大学，深受两位淳厚黑塞（Hesse）和里奇劳特（F. Richelot）的影响，他们都是雅克比的学生。本色上，克莱布什从未与雅克比谋面，因为雅克比在他入学后第二年（1851年）就牺牲了，但克莱布什通过汇聚雅克比的全集而受到了雅克比的影响。1854年克莱布什到柏林深造。1858年到1863年在卡尔斯鲁厄（Karlsruhe）任表面力学教化，其后又在吉森（Giessen）任数学教化。1868年克莱布什移居哥廷根，成为黎曼的继任者。同庚，他与纽曼（C.G. Neumann，1832-1925）一说念创办了一份迫切的数学杂志《数学年刊》（Mathematische Annalen），这是一份相配有影响的杂志，希尔伯特从1902年起一直担任该刊的主编。

克莱布什（1833-1872）

克莱布什早期服务的敬爱在数学物理方面，他对变分法和微分方程也有研究，但克莱布什最主要的服务是代数几何。代数几何是19世纪最伟大的数学创造之一，100多年来已发展成为数学的中枢部分，它与所稀有学分支都有着密不成分的推敲并推动着它们的发展。代数几何学的研究对象是由多项式方程或方程组所界说的代数簇。代数簇的畸形情形是代数弧线和代数曲面。

克莱布什研究的主如果复数域上的代数弧线和代数曲面。代数几何的中心问题是分类，19世纪中世代数弧线的分类由黎曼所奠定，并由克莱布什秉承。为了对弧线进行分类，克莱布什初次引入连通、亏格等意见，讲解了一系列关连定理。克莱布什明确指出ai 人妖，代数几何学研究双有理变换偏激不变量，而他本东说念主恰是以这种不雅点研究代数弧线和代数曲面的。

克莱布什独创了德国的代数几何派系，他和黎曼被称为是经典代数几何的奠基东说念主。他的学生布瑞尔（A.W.V. Brill，1842-1935）和M. 诺特（M. Nother，1844-1921）秉承发展了克莱布什的想想，他们都是那时闻明的代数几何学家。而M. 诺特恰是数学史上最伟大的女数学家E. 诺特（E. Nother，1882-1935）的父亲，自后E. 诺特来到了哥廷根，在哥廷根数学的发展中阐述了不成量度的作用。像M. 诺特和E. 诺特这么父女同为特出数学家的组合在数学史上似乎并未几见。

但是粗野斯牺牲之后，哥廷根大学的数学教化似乎中了一个魔咒：其继任者都没能在这个职位上干多永劫刻。狄利克雷在这个位置上只待了4年就牺牲了。而其继任者黎曼在担任这个职位3年后感染了胸膜炎，后期一直留心大利养痾。作为黎曼的继任者，克莱布什也没能避免，在他任教化4年后由于患白喉病而牺牲。

数学教化的频繁更替对哥廷根数学的发展相配不利。

把我方置于危机境地——富克斯

微分方程的代名词——富克斯（1833-1902）

克莱布什的继任者是富克斯，富克斯于1874年来到哥廷根。但是富克斯来到哥廷根大学不到一年，便接受了海德堡大学的任命而离去，这又从侧面阐明了哥廷根那时以至与海德堡比拟也莫得多大的上风，在康斯坦丝•瑞德《希尔伯特——数学寰宇的亚历山大》（李文林、袁向东译）中对海德堡大学赐与了如下议论：

海德堡大学是德国总计大学中最讨东说念主心爱和最富饶放浪颜色的学校。

那时的德国大学之间东说念主才不错目田流动，学生不错在第二个学期转到别的学校听课。比较恰巧的是，希尔伯特于1881年到海德堡大学听课，富克斯刚好在哪里任教。富克斯的讲课神色如胶似漆，给希尔伯特留住了很深的印象。富克斯课前一般不作念准备，对要教化的内容老是现讲现推，风俗于在课堂上把我方“置于危机的境地”。这确乎是一个难得的契机，不错看到一位数学家的想维经过。不成否定这对希尔伯特有很大影响，以致于自后希尔伯特在哥廷根讲课前也只作念一般的准备，课上有细节造作更是常事，但是这更有助于他忽然张开对某个事实的想法。这点与克莱因追求恢恢有余大不疏通，克莱因老是比学生们提前到，以查验他可能放浪的地方而加以改正。天然他们的证明都是经典。

富克斯主要从事的是微分方程方面的研究，他在微分方程方面的高大孝敬使得他成为微分方程的代名词。富克斯在常微分方程的表面方面，作念出了迫切孝敬。他哄骗超几何级数解线性微分方程，1866年富克斯在他的一篇论文中指出，在奇点邻域内的解不错用级数表出，研究这一问题的表面被称为线性微分方程的富克斯表面。这一表面平直指向了庞加莱（J.H. Poincaré，1854-1912）的自守函数表面，另一方面通过克莱因与椭圆函数论相迎阿，并曲折地引起了庞加莱与克莱因的竞争。这些问题成为19世纪70-80年代许无数学家研究的主要课题，而且在微分方程表面自己中也饰演着迫切的变装。自守函数中有一类迫切的函数称为富克斯函数。这类函数在一种线性变换的作用下是不变的，这些变换不错变成一个群，叫作念富克斯群，这都阐明富克斯在线性常微分方程方面有着高大的孝敬。

富克斯的继任者——施瓦茨（1875-1892）

施瓦茨（1843-1921）

1875年富克斯离任之后，哥廷根终于迎来了一位在哥廷根任职高出10年以上的数学教化——施瓦茨（H.A. Schwarz，1843-1921），施瓦茨对哥廷根有相配的影响。施瓦茨到哥廷根后，左证他的证明内容制定了一份详细的霸术：伊始，先容微分与积分周期粉饰、分解几何、二阶曲面、双曲率曲面和概括几多么初等内容。然后先容分解函数周期粉饰、椭圆函数、极小曲面、超几何级数以及函数论等其他限度。在数学系教化斯特恩（M.A. Stern，1807-1894）的支抓下，1878年数学物理接洽会率先建立一个流动藏书楼，这个藏书楼一直在施瓦茨的处理下，直到他离开哥廷根。跟着乌尔里希（G.K.J. Ulrich，1798-1879）的牺牲，他又领受了数学器用和模子室。当今咱们能在哥廷根数学研究所第三层走廊的模子室里看到多达500多件的模子。

施瓦茨的数学竖立，主要体当今三个方面，差异是分析学、微分方程和几何学。施瓦茨深受其淳厚魏尔斯特拉斯的影响，对函数论情有独钟。绝顶是在微分方程方面，施瓦茨在研究二阶线性微分方程的解的结构时，引入了一类线性变换群，这一服务为自守函数研究创造了要求。

顷刻的继任者——韦伯（1892-1895）

H. 韦伯（1842-1913）

H. 韦伯（H. Weber，1842-1913）降生于海德堡，1863年获取海德堡大学博士学位。毕业后韦伯在一系列学校任职，他曾在哥尼斯堡大学任教化。哥尼斯堡大学的数学因雅克比而知名，从数学史来看，雅克比的名声至少要比当今高得多，他被誉为他阿谁期间仅次于高斯的数学家，这也不难鸠集法国天才数学家伽罗瓦（E. Galois，1811-1832）在临死前一再要求请高斯和雅克比就他研究问题的迫切性公开垦表看法。雅克比在数学史上保抓着几项纪录，他是数学史上最为艰辛的数学家；此外，数学盘考班轨制亦然由他创造的。盘考班是德国数学培植和科研的一大创造，在德国数学的兴起中饰演着极为迫切的变装，直到今天它仍是数学教化和科研的不二秘诀，寰宇各地也常常依期大概不依期举办各式闻明的数学盘考班。

韦伯资质极高，多材多艺，在数论和数学物理方面都作出过迫切的孝敬，算得上是雅克比的传东说念主。而年青的希尔伯特在哥尼斯堡大学学习手艺，曾跟从他学习过数论和函数论。未必的是，当1895年韦伯离任去斯特拉斯堡大学任职时，接替他的恰是希尔伯特。

韦伯是第一个给出群抽象界说的数学家，在群论抽象化的经过中起着举足轻重的作用。他最闻明的论著是《代数学教程》（Lehrbuch der Algebra），《代数学教程》在很长的一段时刻里被算作念了课本。

哥廷根的其他教师

蒂博（B.F. Thibaut，1775-1832），1797年任哥廷根讲师，1805年任教化。高斯不擅长教化，莫得些许学生，也莫得东说念主忻悦选他的课，而蒂博则与高斯变成了显著对比，他被誉为哥廷根最佳的讲课淳厚，其修辞立场以至不错和歌德比拟。蒂博的主要研究限度为微分方程和积分学。他于1832年将一批测地器用和模子捐馈赠了学校，到1865年这些器用和模子被专诚放在一个展厅里。这一展厅由乌尔里希负责，经过施瓦茨和希尔伯特的规划，绝顶是克莱因，他以至为模子室拉到了扶植，从而使模子室获取了踏实的资金支抓。这等于当今哥廷根数学所第三层走廊里的模子的历史源流。不错遐想，这些模子在曩昔的几何教化乃至科研中阐述了多么迫切的作用，如今在Mathematica和Maple等数学软件问世后，这些模子更多的是一种对历史的承载。

哥廷根数学研究所第三层的数学模子

斯特恩，1848年景为全职教化，这一年开动，哥廷根领有了两个数学教化席位。此外，斯特恩照旧德融会第一个犹太教化，最早贯注到了黎曼的资质，曾协助高斯培养黎曼，克莱因继任的恰是他的位置。严格地说，克莱因并不属于高斯、狄利克雷和黎曼这一教化席位的秉承东说念主（见扫尾附录）。

乌尔里希，数学物理盘考班的主要参与者之一，哥廷根大学数学器用和模子室的主要负责者，主要研究限度为立体几何、三角学、应用几何、力学和土木建筑。

利斯亭（J.B. Listing，1808-1882），1834年博士毕业于哥廷根，其导师为高斯。1837年，W. 韦伯（W.E. Weber，1804-1891，贯注与之前的H. 韦伯不是归拢个东说念主）由于参与了七正人事件而被解职，因此高斯残酷利斯亭继任这一职位(物理系的职位)，尽管那时他莫得发表过一篇著作。在高斯的影响下，他于1848年出书了《拓扑学初步研究》（Vorstu-dien zur Topologie），这是初次在出书物顶用到“拓扑”这个词，尽管在之前的信件中已出现过雷同的词汇。永恒以来，这门学科更多被称为位置分析（Analysis Situs），直到20世纪20年代好意思国数学家莱夫谢兹（S. Lefschetz，1884-1972）使用了拓扑学（Topology）这个称呼，这一学科的称呼才固定下来。

莫比乌斯带最早是由利斯亭于1861年发现的，4年后莫比乌斯才对此作了形容。适应的名字应该是利斯亭带，当今为其正名为时已晚

西林（Ernst Schering，1824-1897），德国数学家，1857年在哥廷根大学获取博士学位，他最闻明的服务是对高斯著作的剪辑。

结语

在高斯期间，德国除了高斯除外，仅有少数几个数学家进行着数学研究。这一形状在德融会长入后连忙得到了改不雅，那时德国数学已处于精深飞扬的景况，其普及性即使法国也不成比。与这一时期的柏林大学比拟，哥廷根数学发展的速率大大落伍了，那时哥廷根数学在德国浩荡的数学研究中心中已莫得多大上风。

固然克莱布什、富克斯、施瓦茨、H. 韦伯在数学史上莫得像高斯、狄利克雷和黎曼那样显耀的地位，但他们在哥廷根数学的发展史上却绝交忽视。在克莱因到达哥廷根之前，恰是他们守旧了哥廷根数学的发展，况兼在函数论、代数几何、微分方程、代数等场地保抓了率先。从历史上看，函数论处于19世纪数学的中心性位，险些是评价所稀有学家的试金石。许多大数学家在那时之是以了不得，并非是像咱们当今以为的那样，而是由于他们在函数论这个限度的特出服务。雅克比、魏尔斯特拉斯、黎曼、庞加莱更是因为他们对函数论的服务而获取了他们真贵的职位和显耀的名声。

数学发展需要群众，在施瓦茨和韦伯离任后，克莱因有了大施拳脚的契机，他网罗群众，在1895年聘来了希尔伯特，自后的发展讲解了他罕见的目光，恰是希尔伯特高大的权威，给哥廷根数学带来了无比的声誉。柏林则由于魏尔斯特拉斯的牺牲而趋于式微。数学发展需要有很强组织才能的东说念主来招引，克莱因的行政天才的真的确给哥廷根的数学发展带来了高大的便利，而柏林的克罗内克也为柏林争取过不少利益。

数学的发展还需要计谋，需要国度和政府的踏实支抓。德国大学之间充分的东说念主才交流、默契的竞争以及和洽的发展，使得哥廷根数学冉冉迎来了我方的后光。但无可否定，柏林大学19世纪后半叶以及哥廷根数学1886-1933年间的后光是与德融会文化培植部的踏实支抓分不开的。终于在1933年之后，跟着纳粹的掌权，哥廷根数学又毁于一朝，于今也莫得规复曩昔的荣耀。

附：哥廷根数学的编制（1800-1900）

哥廷根初期只消一个数学教化席位，也很少有学生弃取数学来作为他们主要的研究限度。1848年，哥廷根开垦了第二个数学教化席位。

哥廷根数学第一教化

1807-1855 高斯

1856-1859 狄利克雷

1860-1866 黎曼

1868-1872 克莱布什

1874-1875 富克斯

1875-1892 施瓦茨

1892-1895 H. 韦伯

1895-1930 希尔伯特

哥廷根数学第二教化

1848-1883 斯特恩

1886-1913 克莱因

作家简介

王涛，河北师范大学数学学士、博士，南边科技大学数学系博士后，中国科学院天然科学史研究所副研究员。

本文经授权转载自微信公众号“数学文化”。

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